如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△ABC为等腰直角三角形，∠B=90°D为棱BB1的中点．（1）求证：面DA1C⊥面AA1C1C；（2）若AA1AB＝2，求二面角A-A1D-C的大小．

Question

如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC为等腰直角三角形，∠B=90°D为棱BB₁的中点．
（1）求证：面DA₁C⊥面AA₁C₁C；
（2）若(AA1)/(AB)＝√(2)，求二面角A-A₁D-C的大小．

Answer 1

证明：（1）取A₁C的中点E，取AC的中点F，连接EF，DE，BF．
则由条件可得DE∥BF，又面BAC⊥面AA₁C₁C且交于AC，∴BF⊥AC，
BF⊥面AA₁C₁C，∴DE⊥面AA₁C₁C
而DE⊂面DA₁C，所以平面DA₁C⊥平面AA₁C₁C．
（2）延长DA₁交AB的延长线于点G，则有CB⊥平面AA₁B₁C
过B作BH⊥A₁G于H，边CH，则A₁G⊥CH，
所以∠CHB为二面角A-A₁D-C的平面角．
设AA₁=2h，AB=BC=√(2)h，在直角三角形A₁AG中，AB=BG，
在直角三角形DBG中，HB=(BD•BG)/(DG)=(√(6)h)/(3)，
在直角三角形CHB中，tan∠CHB=(√(2)h)/((√(6))/(3)h)=√(3)，
∴∠CHB=60°．