如图，已知三棱锥D-ABC的底面是正三角形，且DA⊥平面ABC，O为底面中心，M、N是BD上的两点，且BM=DM=3MN（1）ON∥平面MAC；（2）若AM⊥BD，求BO与平面MAC所成角的正弦值．

Question

如图，已知三棱锥D-ABC的底面是正三角形，且DA⊥平面ABC，O为底面中心，M、N是BD上的两点，且BM=DM=3MN
（1）ON∥平面MAC； 
（2）若AM⊥BD，求BO与平面MAC所成角的正弦值．

Answer 1

证明：（1）延长BO交AC于E，连接ME，
∵O为底面正三角形ABC的中心，
故E为AC的中点，且BO：OE=2：1，
又由BM=DM=3MN，
∴BN：NM=2：1，
故ON∥ME，
又∵ON⊄平面MAC，ME⊂平面MAC，
∴ON∥平面MAC； 
（2）∵DA⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，
∴DA⊥AB，
又∵ABM为BD的中点，AM⊥BD，
故△ABD为等腰直角三角形，
以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

设AD=AB=AC=BC=2a，
则B（0，2a，0），D（0，0，2a），M（0，a，a），C（√(3)a，a，0），O（(√(3)a)/(3)，a，0），
则

BO

=（(√(3)a)/(3)，-a，0），

AM

=（0，a，a），

AC

=（√(3)a，a，0），
设平面MAC的一个法向量为

m

=（x，y，z），
则由

m

⊥

AM

m

⊥

AC

得：

m

•

AM

＝0

m

•

AC

＝0

，
即

ay+az＝0

√(3)ax+ay＝0

，
令x=1，则

m

=（1，-√(3)，√(3)）为平面MAC的一个法向量，
设BO与平面MAC所成角为θ，
则sinθ=(|m•BO|)/(|m|•|BO|)=((4√(3))/(3)a)/((2√(3))/(3)a•√(7))=(2√(7))/(7)