如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，PA=AD，E、F分别是棱PD、BC的中点．（1）求证：AE⊥PC；（2）求直线PF与平面PAC所成的角的正切值．

Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，PA=AD，E、F分别是棱PD、BC的中点．
（1）求证：AE⊥PC；
（2）求直线PF与平面PAC所成的角的正切值．

Answer 1

（方法一）（1）证明：因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥DC
因为底面ABCD是正方形，所以AD⊥DC
因为AD∩PA=A，所以DC⊥平面PAD，
因为AE⊂平面PAD，所以AE⊥DC，（3分）
又因为PA=AD，点E是棱PD的中点，所以AE⊥PD，
因为PD∩DC=D，所以AE⊥平面PDC，
因为PC⊂平面PDC，所以AE⊥PC．（7分）
（2）过点F作FH⊥AC于点H，连接PH，由F是棱BC的中点，底面是正方形可得FH∥BD，FH＝(1)/(4)BD，
又由PA⊥底面ABCD得到PA⊥FH，
因为AD∩PA=A，所以FH⊥平面PAC，
所以∠FPH为直线PF与平面PAC所成的角，（10分）
设AD=1，得到FH=(√(2))/(4)，
在RT△PAH中，PH＝(√(34))/(4)，tan∠FPH＝(FH)/(PH)＝(√(17))/(17)．（14分）
（方法二）（1）证明：以A为原点，分别以

AB

，

AD

，

AP

的方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，
设PA=AD=1，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），P（0，0，1），（2分）
∵点E、F分别是棱PD、BC的中点，
∴E(0，(1)/(2)，(1)/(2))，F(1，(1)/(2)，0)，