如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别在BB1，DD1上，且AE⊥AB，AF⊥A1D．（I）求证：A1C⊥平面AEF；（Ⅱ）若AB=4，AD=3，AA1=5，求平面AEF和平面D1B1BD所成的角的正弦值．

Question

如图，在长方体A BCD-A₁B₁C₁D₁中，点E，F分别在BB₁，DD₁上，且AE⊥AB，AF⊥A₁D．
（I）求证：A₁C⊥平面A EF；
（Ⅱ）若AB=4，AD=3，AA₁=5，求平面AEF和平面D₁B₁BD所成的角的正弦值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：方法一：∵

A1C

•

AE

＝(

A1B

+

BC

)•

AE

=

BC

•

AE

＝

BC

•(

AB

+

<

作业帮用户 2017-10-05

问题解析

（I）方法一，利用向量方法，方法二，利用线面垂直的性质证明：A₁C⊥AE，A₁C⊥AF，根据线面垂直的判定定理，可得A₁C⊥平面A EF；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面AEF、平面D₁B₁BD的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面AEF和平面D₁B₁BD所成的角的正弦值．

名师点评

本题考点：

用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题．

考点点评：

本题考查线面垂直的判定，考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，考查向量法的运用，属于中档题．

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