（2010•安庆模拟）三棱锥P-ABC中△PAC是边长为4的等边三角形，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，平面PAC⊥面ABC，D、E分别为AB、PB的中点．（1）求证AC⊥PD；（2）求二面角E-AC-B的正切值．（3

Question

（2010•安庆模拟）三棱锥P-ABC中△PAC是边长为4的等边三角形，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，平面PAC⊥面ABC，D、E分别为AB、PB的中点．
（1）求证AC⊥PD；
（2）求二面角E-AC-B的正切值．
（3）求三棱锥P-CDE与三棱锥P-ABC的体积之比．

Answer 1

（1）证：取AC中点O，PO⊥AC，又面PAC⊥面ABC∴PO⊥面ABC，连OD，则OD⊆面PBC，则DO⊥AC，∴AC⊥面POD，AC⊥PD…（3分）
（2）连OB，过E作EF⊥OB于F
Q面POB⊥面ABC∴EF⊥面ABC  过F作FG⊥AC
连EG知EG⊥AC∠EGF为二面角E-AC-B的平面角
在VPOB中，EFP=(1)/(2)PO＝√(3)
在VOBC中，FGP=(1)/(2)BC＝2tan∠EGF＝(√(3))/(2)…（8分）
（3）V_P-CDE=V_D-PCE，E为PB中点
∴SVPCE＝(1)/(2)SVPBC，VD−PCE＝(1)/(2)VD−PBC＝(1)/(2)VP−DBC＝(1)/(4)VP−ABC
即(VP−CDE)/(VP−ABC)＝(1)/(4)…（13分）