已知四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形，AD=2AB，∠ABC=60°，PA⊥面ABCD，且PA=AD．若E为PC中点，F为线段PD上的点，且PF=2FD．（1）求证：BE∥平面ACF；（2）求PC与平面PAD所成角的正弦值．

Question

已知四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形，AD=2AB，∠ABC=60°，PA⊥面ABCD，且PA=AD．若E为PC中点，F为线段PD上的点，且PF=2FD．

（1）求证：BE∥平面ACF；
（2）求PC与平面PAD所成角的正弦值．

Answer 1

（1）证明：连结BD交AC于点O，
取PF的中点G，连结OF，BG，EG，
∵O，F分别是DB，DG的中点，∴OF∥BG，
∵E，G分别是PC，PF的中点，∴EG∥CF，
∴平面BEG∥平面ACF，
又∵BE⊂平面BEG，
∴BE∥平面ACF． 
（2）∵BC=2AB，∠ABC=60°，
∴∠BAC=90°．
过C作AD的垂线，垂足为H，则CH⊥AD，CH⊥PA，
∴CH⊥平面PAD．
∴∠CPH为PC与平面PAD所成的角．
设AB=1，则BC=2，AC=√(3)，PC=√(7)，CH=(√(3))/(2)，
∴sin∠CPH=(CH)/(PC)=(√(21))/(14)，即为所求．