如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB=2AD=2，BD=3，PD⊥底面ABCD．（1）证明：平面PBC⊥平面PBD；（2）若二面角P-BC-D为π6，求AP与平面PBC所成角的正弦值．

Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB=2AD=2，BD=√(3)，PD⊥底面ABCD．
（1）证明：平面PBC⊥平面PBD；
（2）若二面角P-BC-D为(π)/(6)，求AP与平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

（1）证明：∵CD²=BC²+BD²，∵BC⊥BD
∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥BC
又∵PD∩BD=D，∴BC⊥平面PBD
而BC⊂平面PBC，
∴平面PBC⊥平面PBD…（5分）
（2）由（1）所证，BC⊥平面PBD，所以∠PBD即为二面角P-BC-D的平面角，即∠PBD=(π)/(6)
而BD=√(3)，所以PD=1…（7分）
分别以DA、DB、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），B（0，√(3)，0)，C(−1，√(3)，0），P（0，0，1）
所以，

AP

＝(−1，0，1)，

BC

＝(−1，0，0)，

BP

＝(0，−√(3)，1）
设平面PBC的法向量为

n

＝(a，b，c)，∴

作业帮用户 2017-11-16

问题解析

（1）证明BC⊥平面PBD，利用面面垂直的判定定理，即可证明平面PBC⊥平面PBD；
（2）确定∠PBD即为二面角P-BC-D的平面角，分别以DA、DB、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，用坐标表示向量及平面PBC的法向量，利用向量的数量积公式，即可求得AP与平面PBC所成角的正弦值．

名师点评

本题考点：

用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定．

考点点评：

本题考查面面垂直，考查线面角，解题的关键是掌握面面垂直的判定定理，正确运用向量法求线面角．

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