（2012•安徽模拟）如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，PC=2，底面四边形ABCD为直角梯形，∠B=∠C=90°，AB=4，CD=1，侧棱PB与底面ABCD成30°角，点M是PB上的动点，且PMPB＝λ（λ∈[0，1]）．（1）

Question

（2012•安徽模拟）如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，PC=2，底面四边形ABCD为直角梯形，∠B=∠C=90°，AB=4，CD=1，侧棱PB与底面ABCD成30°角，点M是PB上的动点，且(PM)/(PB)＝λ（λ∈[0，1]）．
（1）若CM∥平面PAD，求λ的值；
（2）当λ为何值时，CM与平面PAD所成的角最大？并求出最大角的正弦值．

Answer 1

（1）在底面四边形ABCD中
∵∠B=∠C=90°，
∴AB∥CD，
在PA上取点N，使PA=4PN，
连接NM，MC，ND，
在△PAB中，
∵(PN)/(PA)＝(PM)/(PB)=(1)/(4)，∴MN∥AB，MN=(1)/(4)AB，
∴四边形CDNM是平行四边形，
所以此时的CM∥平面PAD，λ=(1)/(4)．
（2）以C为坐标原点，CB，CD，CP所在的直线分别为x，y，z轴建立如图的空间直角坐标系，
则P（0，0，2），A（2√(3)，4，0），B（2√(3)，0，0），C（0，0，0）
设平面PAD的法向量为

n

=（x，y，z）
由√(n•PA＝0作业帮用户2017-10-31问题解析（1）在底面四边形ABCD中，由∠B=∠C=90°，知AB∥CD，由此能推导出四边形CDNM是平行四边形．从而能够找到点M在线段PB上使PA=4PN处．（2）建立空间直角坐标系，用坐标表示点，求出平面PAD的法向量，从而可得cos＜n•CM＞=(−4λ+1)/(2√(2)•√(4λ2−2λ+1))设n，CM分别所在直线所成锐角为θ，则cosθ=(|−4λ+1|)/(2√(2)•√(4λ2−2λ+1))=(√(2))/(4)×√(4−(3)/(4(λ−(1)/(4))2+(3)/(4)))，cosθ最大，θ最小，CM与平面PAD所成的角φ=(π)/(2)−θ最大，故可得结论．名师点评本题考点：用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面平行的判定．考点点评：本题考查线面平行，考查线面角，解题的关键是掌握线面平行的判定定理，正确运用向量方法求解立体几何问题．扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)