（2002•上海）如图，三棱柱OAB-O1A1B1，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB=60°，∠AOB=90°，且OB=OO1=2，OA=3，求（1）二面角O1-AB-O的大小；（2）异面直线A1B与AO1所成角的大小．（上述结果用反三角函数值

Question

（2002•上海）如图，三棱柱OAB-O₁A₁B₁，平面OBB₁O₁⊥平面OAB，∠O₁OB=60°，∠AOB=90°，且OB=OO₁=2，OA=√(3)，求
（1）二面角O₁-AB-O的大小；
（2）异面直线A₁B与AO₁所成角的大小．（上述结果用反三角函数值表示）

Answer 1

（1）如图，以OA、OB为x轴、y轴，建立如图所示空间直角坐标系
可得0（0，0，0），A（√(3)，0，0）、B（0，2，0）、0₁（0，1，√(3)）
∴

AB

＝(−√(3)，2，0)，

AO1

＝(−√(3)，1，√(3))
设

m

=（x，y，z）是平面ABO₁的一个法向量
则

作业帮用户 2017-10-27

问题解析

（1）分别以OA、OB为x轴、y轴建立空间直角坐标系，可得O、A、B、O₁各点的坐标，从而可得

AB

、

A1O

的坐标，利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组，解出

m

=（2√(3)，3，√(3)）是平面AB0₁的一个法向量，结合

n

=（0，0，1）是平面AOB的一个法向量，利用空间向量的夹角公式即可算出二面角O₁-AB-O的大小；
（2）根据（1）的结论，得到

A1B

=（-√(3)，1，-√(3)），结合

AO1

＝(−√(3)，1，√(3))利用空间向量夹角的公式算出

A1B

、

AO1

夹角的余弦之值，即可得到异面直线A₁B与AO₁所成角的大小．

名师点评

本题考点：

用空间向量求平面间的夹角；异面直线及其所成的角；二面角的平面角及求法．

考点点评：

本题在三棱柱中求平面与平面所成角和异面直线所成角的大小．着重考查了棱柱的性质、利用空间向量的方法研究面面角和异面直线所成角等知识，属于中档题．

扫描下载二维码

©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]  作业帮协议