如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为一直角梯形，侧面PAD是等边三角形，其中BA⊥AD，CD⊥AD，CD=2AD=2AB，平面PAD⊥底面ABCD，E是PC的中点．（1）求证：BE∥平面PAD；（2）求BC与平面BDE所成角的余弦值

Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为一直角梯形，侧面PAD是等边三角形，其中BA⊥AD，CD⊥AD，CD=2AD=2AB，平面PAD⊥底面ABCD，E是PC的中点．
（1）求证：BE∥平面PAD；
（2）求BC与平面BDE所成角的余弦值；
（3）线段PC上是否存在一点M，使得AM⊥平面PBD，如果存在，求出PM的长度；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）证明：取PD中点F，连接AF，EF，则EF

∥

.

.

(1)/(2)CD，
又BA⊥AD，CD⊥AD，CD=2AD=2AB，
∴AB

∥

.

.

(1)/(2)CD，∴EF

∥

.

.

AB，
∴四边形ABEF是平行四边形-------------------（2分）
∴AF∥BE，
又AF⊂平面PAD，BE⊄平面PAD
∴BE∥平面PAD-------（4分）
（2）过C作DE的垂线，交DE的延长线于N，连接BN
∵平面PAD⊥底面ABCD，CD⊥AD，
∴CD⊥平面PAD，
∴CD⊥AF，
又AF⊥PD，PD∩CD=D，
∴AF⊥平面PCD，
∴BE⊥平面PCD，
∴BE⊥CN，
又CN⊥DE，DE∩BE=E，
∴CN⊥平面BDE，
∴∠CBN就是直线BC与平面BDE所成角------（7分）
令AD=1，求得CN＝(2√(5))/(5)，BC＝√(2)，
∴sin∠CBN=(CN)/(BC)＝(2)/(√(5))，
∴cos∠CBN=(√(15))/(5)，
故BC与平面BDE所成角的余弦值为

√(作业帮用户2016-12-14问题解析（1）证明BE∥平面PAD，只需证明AF∥BE；（2）过C作DE的垂线，交DE的延长线于N，连接BN，证明∠CBN就是直线BC与平面BDE所成角，从而可求BC与平面BDE所成角的余弦值；（3）假设PC上存在点M，使得AM⊥平面PBD，则AM⊥PD，可得点M与E重合．取CD中点G，连接EG，AG，则BD⊥AG，证明PD⊥平面BCD，从而PD⊥AD，这与△PAD是等边三角形矛盾．名师点评本题考点：直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．考点点评：本题考查线面平行，线面垂直，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，考查反证法的运用，属于中档题．扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)