三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1垂直平面ABC,BC垂直AC,BC=AC=2,AA1=3,D为AC的中点,求而面角C1-BD-C的余弦值

Question

三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1垂直平面ABC,BC垂直AC,BC=AC=2,AA1=3,D为AC的中点,求而面角C1-BD-C的余弦值

Answer 1

证明：（I）连接B1C,与BC1相交于O,连接OD
∵BCC1B1是矩形,
∴O是B1C的中点．
又D是AC的中点,
∴OD∥AB1．（2分）
∵AB1��面BDC1,OD��面BDC1,
∴AB1∥面BDC1．（4分）
（II）如图,建立空间直角坐标系,则
C1（0,0,0）,B（0,3,2）,C（0,3,0）,A（2,3,0）,
D（1,3,0）（5分）
设n=（x,y,z）是面BDC1的一个法向量,则
n��C1B=0n��C1D=0
即3y+2z=0x+3y=0,令x=1
则n=（1,-13,12）．（6分）
易知C1C=（0,3,0）是面ABC的一个法向量．
∴cos＜n,C1C＞=27．（8分）
∴二面角C1-BD-C的余弦值为27．（9分）
（III）假设侧棱AA1上存在一点P（2,y,0）（0≤y≤3）,使得CP⊥面BDC1．
则CP��C1B=0CP��C1D=0,即3(y-3)=02+3(y-3)=0
∴方程组无解．∴假设不成立．
∴侧棱AA1上不存在点P,使CP⊥面BDC1．（14分）