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求f(x,y)=e^2x(x+2y+y^2)的极值,
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求f(x,y)=e^2x(x+2y+y^2)的极值,
▼优质解答
答案和解析
求偏导数：
αf/αx＝2e^(2x)(x+y^2+2y)＋e^(2x)＝e^(2x)(2x+2y^2+4y＋1)
αf/αy＝e^(2x)(2y+2)
解方程组αf/αx＝0,αf/αy＝0,得x＝1/2,y＝－1
求二阶偏导数：
A＝α2f/αx2＝e^(2x)(4x+4y^2+8y＋4)
B＝α2f/αx2＝e^(2x)(4y+4)
C＝α2f/αy2＝2e^(2x)
在(1/2,-1)处,A＝e/2,B＝0,C＝2e,B^2－AC＜0,且A＞0,所以函数f(x,y)在(1/2,-1)处取得极小值,极小值f(1/2,-1)＝－e/2
αf/αx＝2e^(2x)(x+y^2+2y)＋e^(2x)＝e^(2x)(2x+2y^2+4y＋1)
αf/αy＝e^(2x)(2y+2)
解方程组αf/αx＝0,αf/αy＝0,得x＝1/2,y＝－1
求二阶偏导数：
A＝α2f/αx2＝e^(2x)(4x+4y^2+8y＋4)
B＝α2f/αx2＝e^(2x)(4y+4)
C＝α2f/αy2＝2e^(2x)
在(1/2,-1)处,A＝e/2,B＝0,C＝2e,B^2－AC＜0,且A＞0,所以函数f(x,y)在(1/2,-1)处取得极小值,极小值f(1/2,-1)＝－e/2
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