设函数f（x）=In（x+a）+x^2若fx存在极值求a的范围?答案是（根号2,正无穷）为什么舍去（负无穷,-根号2并证明所有极值之和大于Ine/2

Question

设函数f（x）=In（x+a）+x^2若fx存在极值 求a的范围?答案是（根号2,正无穷）为什么舍去（负无穷,-根号2
并证明所有极值之和大于Ine/2

Answer 1

因为算出的在存在极值点时的横坐标x=[-a±√(a^2-2)]/2.
显然a^2-2必须大于0,算出a＜-√2或a＞√2.
如果a＜-√2,则x+a=[a±√(a^2-2)]/2.
若x+a=[a-√(a^2-2)]/2,显然x+a＜0,与ln(x+a)中必须x+a＞0矛盾；
若x+a=[a+√(a^2-2)]/2=1/[a-√(a^2-2)],仍然x+a＜0,与ln(x+a)中必须x+a＞0矛盾；
综合上述,在a＜-√2时x+a＜0,与ln(x+a)中必须x+a＞0矛盾,舍去!只有a＞√2满足条件.
证明：
当f(x)取到极值时,x=[-a±√(a^2-2)]/2,a＞√2.
所有极值之和为
ln{[a+√(a^2-2)]/2}+{[-a+√(a^2-2)]/2}^2+ln{[a-√(a^2-2)]/2}+{[-a-√(a^2-2)]/2}^2=a^2-1-ln2
因为a＞√2,所以a^2-1-ln2＞2-1-ln2=ln(e/2) 得证