已知函数f（x）=ex（x-aex）恰有两个极值点x1，x2（x1<x2），则a的取值范围是（）A.（0，12）B.（1，3）C.（12，3）D.（12，1）

Question

已知函数f（x）=e^x（x-ae^x）恰有两个极值点x₁，x₂（x₁<x₂），则a的取值范围是（　　）

A. （0，

(1)/(2)）

B. （1，3）

C. （

(1)/(2)，3）

D. （

(1)/(2)，1）

Answer 1

∵函数f（x）=e^x（x-ae^x），
∴f′（x）=（x+1-2a•e^x）e^x，
由于函数f（x）的两个极值点为x₁，x₂，
即x₁，x₂是方程f′（x）=0的两不等实根，
即方程x+1-2ae^x=0，且a≠0，
∴(x+1)/(2a)=e^x；
设y₁=(x+1)/(2a)（a≠0），y₂=e^x，
在同一坐标系内画出这两个函数的图象，如图所示；

要使这两个函数有2个不同的交点，应满足

(1)/(2a)>0

(1)/(2a)>1

，
解得0<a<(1)/(2)，
所以a的取值范围是（0，(1)/(2)）．
故选：A．