应用拉格朗日成数法,求函数f(x,y)=x+y+z+t满足条件xyzt=c^4(x,y,z,t>0,c>0)的条件极值

Question

应用拉格朗日成数法,求函数f(x,y)=x+y+z+t满足条件xyzt=c^4 (x,y,z,t>0,c>0) 的条件极值

Answer 1

设g（x,y）==x+y+z+t+R（xyzt-c^4）
得到gx（x,y）=1+Rzty gy（x,y）=1+Rztx
令gx（x,y）=0 y（x,y）=0
消去R 得到x=y
xyzt=c^4 所以x=y=c^2/√（zt）
所以函数f(x,y)极值是2c^2/√（zt）+z+t