已知函数f（x）=alnx+12x2-ax（a为常数）有两个不同的极值点．（1）求实数a的取值范围；（2）记f（x）的两个不同的极值点分别为x1，x2，若不等式f（x1）+f（x2）<λ（x1+x2）恒成立，求实数λ

Question

已知函数f（x）=alnx+(1)/(2)x2-ax（a为常数）有两个不同的极值点．
（1）求实数a的取值范围；
（2）记f（x）的两个不同的极值点分别为x₁，x₂，若不等式f（x₁）+f（x₂）<λ（x₁+x₂）恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

（1）f′（x）=(x2-ax+a)/(x)，（x>0），
f（x）有2个不同的极值点，
即方程x²-ax+a=0有2个不相等的正根，
故

a>0

a2-4a>0

，解得：a>4；
（2）由（1）得x₁+x₂=a，x₁x₂=a，a>4，
∴f（x₁）+f（x₂）=alnx₁+(x12)/(2)-ax₁+alnx₂+(x22)/(2)-ax₂
=aln（x₁x₂）+((x1+x2)2)/(2)-x₁x₂-a（x₁+x₂）=a（lna-(a)/(2)-1），
不等式f（x₁）+f（x₂）<λ（x₁+x₂）恒成立，
即λ>(a(lna-(a)/(2)-1))/(a)=lna-(a)/(2)-1恒成立，
记h（a）=lna-(a)/(2)-1，（a>4），
则h′（a）=(1)/(a)-(1)/(2)<0，则h（a）在（4，+∞）递减，
故h（a）<h（4）=ln4-3，
即λ≥ln4-3．