如图，△ABC中，AB=AC=8，BC=12，点P、Q分别在AB、BC边上，且∠AQP=∠B．（1）求证：△BQP∽△CAQ；（2）若BP=4.5，求∠BPQ的度数；（3）若在BC边上存在两个点Q，满足∠AQP=∠B，求BP长的取值范围．

Question

如图，△ABC中，AB=AC=8，BC=12，点P、Q分别在AB、BC边上，且∠AQP=∠B．

（1）求证：△BQP∽△CAQ；
（2）若BP=4.5，求∠BPQ的度数；
（3）若在BC边上存在两个点Q，满足∠AQP=∠B，求BP长的取值范围．

Answer 1

（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∵∠AQP=∠B．
∴∠AQP=∠C．
又∵∠AQB=∠AQP+∠PQB，∠AQB=∠CAQ+∠C，
∴∠PQB=∠CAQ．
∴△BQP∽△CAQ．
（2）∵△BQP∽△CAQ，
∴(BQ)/(AC)=(BP)/(CQ)．
∴(BQ)/(8)=(4.5)/(12-BQ)，
解得BQ=6．
∵BC=12，
∴BQ=CQ=6．
又∵AB=AC，
∴AQ⊥BC，
∴∠CQA=90°．
∵△BQP∽△CAQ，
∴∠BPQ=∠CQA=90°．
（3）∵△BQP∽△CAQ，
∴(BQ)/(AC)=(BP)/(CQ)．
设BQ=x，BP=m，则 (x)/(8)=(m)/(12-x)，
整理得  x²-12x+8m=0．
∵在BC边上存在两个点Q，
∴方程有两个不相等的正实数根，
∴△=12²-32m>0，解得 m<(9)/(2)，
∴BP长的取值范围为0<BP<(9)/(2)．