当λ取何值时，方程组x1+x2+λx3+x4＝12x1+3x2+(1+2λ)x3+(2+λ)x4＝2+λx1+2x2+(1+λ)x3+(λ2−1)x4＝λ2+λ有唯一解，无解，无穷多解？

Question

当λ取何值时，方程组

x1+x2+λx3+x4＝1

2x1+3x2+(1+2λ)x3+(2+λ)x4＝2+λ

x1+2x2+(1+λ)x3+(λ2−1)x4＝λ2+λ

有唯一解，无解，无穷多解？

Answer 1

由题，知

.

A

＝

1	1	λ	1	1
2	3	1+2λ	2+λ	2+λ
1	2	1+λ	λ2−1	λ2+λ

1	1	λ	1	1
0	1	1	λ	λ
0	1	1	λ2−2	λ2+λ−1

1	1	λ	1	1
0	1	1	λ	λ
0	0	0	(λ−2)(λ+1)	(λ−1)(λ+1)

∴①当（λ-2）（λ+1）≠0即λ≠2且λ≠-1时，
R(A)＝R(

.

A

)＝3＜未知数的个数4，方程组有无穷多解；
②当（λ-2）（λ+1）=0，但是（λ-1）（λ+1）≠0时，
即λ=2时，最后一行对应了矛盾方程0=3，此时原方程组无解；
③当（λ-2）（λ+1）=0且（λ-1）（λ+1）=0时，
即λ=-1时，最后一行对应了恒等方程0=0，R(A)＝R(

.

A

)＝2＜未知数的个数4，此时原方程组有无穷多解
综上所述，不管λ取何值，原方程组都不可能有唯一解；当λ=2时原方程组无解；
当λ≠2时原方程组有无穷多解．