从1到100的一百个自然数中,选出十个数,使它们的倒数和为1,则这10个自然数按从小到大的顺序排列为?有不同解啊,我们老师给的答案是2,6,10,12,20,30,42,56,72,90.不知道怎么来的,老师说是裂项法

Question

从1到100的一百个自然数中,选出十个数,使它们的倒数和为1,则这10个自然数按从小到大的顺序排列为?
有不同解啊,我们老师给的答案是2,6,10,12,20,30,42,56,72,90.不知道怎么来的,老师说是裂项法

Answer 1

1=1/2+1/4+1/8+1/8
=(1/3+1/6)+(1/6+1/12)+(1/9+1/72)+1/8
=1/3+1/6+1/6+1/12+1/9+1/72+1/8
=1/3+(1/9+1/18)+(1/7+1/42)+1/12+(1/10+1/90)+1/72+1/8
=1/3+1/7+1/8+1/9+1/10+1/12+1/18+1/42+1/72+1/90
从小到大3,7,8,9,10,12,18,42,72,90不知道是不是唯一解
那个答案
1=9/10+1/10
=(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+(1/4-1/5)+(1/5-1/6)+(1/6-1/7)+(1/7-1/8)+(1/8-1/9)+(1/9-1/10)+1/10
=1/2+1/6+1/12+1/20+1/30+1/42+1/56+1/72+1/90+1/10