证x^2+px+q有重根的充要条件是4p^3+27q^2=0

Question

证x^2+px+q有重根的充要条件是4p^3+27q^2=0

Answer 1

你想问的是x^3+px+q有重根吧.
充要条件是它和它的导数3x^2+p有公因式（至少一次的）；
所以与(x^3+px+q)-(3x^2+p)*x/3 = (2p/3)x+q有公因式,
但(2p/3)x+q已经是一次的不,所以x^3+px+q是它的倍数.
也就是把x= -3q/(2p)代进x^3+px+q应该=0.
这样就证出来了.

如有不懂欢迎追问