yy″+y′2=0满足初始条件y（0）=1，y′（0）=12的特解是y=x+1y=x+1．

Question

yy″+y′²=0满足初始条件y（0）=1，y′（0）=(1)/(2)的特解是

y=√(x+1)

y=√(x+1)

．

Answer 1

令y'=P（y）（以y为自变量），则y″=(dy′)/(dx)=(dP)/(dx)=P(dP)/(dy)．
代入方程得yP(dP)/(dy)+P2=0，即y(dP)/(dy)+P=0（或P=0，但其不满足初始条件y′|_x=0=(1)/(2)）．
分离变量得(dP)/(P)+(dy)/(y)=0，
积分得ln|P|+ln|y|=C'，即P=(C1)/(y)（P=0对应C₁=0）
由x=0时y=1，P=y′=(1)/(2)，得C1=(1)/(2)．于是y′=P=(1)/(2y)，2ydy=dx，积分得y²=x+C₂．
又由y|_x=0=1得C₂=1，所求特解为y=√(x+1)．