求微分方程y″+y=f（x）满足初始条件y（0）=0，y′（0）=1的特解，其中连续函数f（x）满足条件sinx-f（x）=∫x0tf（x-t）dt．

Question

求微分方程y″+y=f（x）满足初始条件y（0）=0，y′（0）=1的特解，其中连续函数f（x）满足条件sinx-f（x）=

∫

x 0

tf（x-t）dt．

Answer 1

令u=x-t，则du=-dt，因此

∫

x 0

tf（x-t）dt=

−∫

0 x

(x−u)f(u)du=x

∫

x 0

f(u)du−

∫

x 0

uf(u)du
∴sinx−f(x)＝x

∫

x 0

f(u)du−

∫

x 0

uf(u)du
两边对x求导，得
cosx−f′(x)＝

∫

x 0

f(u)du
继续对x求导，得
-sinx-f″（x）=f（x）
即f″（x）+f（x）=sinx
这是二阶常系数非齐次线性微分方程
容易求得，其通解为：
f(x)＝C1cosx+C2sinx−(1)/(2)xcosx
又由sinx−f(x)＝x

∫

x 0

f(u)du−

∫

x 0

uf(u)du，得f（0）=0，因此C₁=0
由cosx−f′(x)＝

∫

x 0

f(u)du，得f′（0）=1，因此C2＝(3)/(2)
∴f(x)＝(3)/(2)sinx−(1)/(2)xcosx
∴微分方程y″+y=f（x），即为y″+y＝(3)/(2)sinx−(1)/(2)xcosx
容易求出对应齐次方程的通解为：y=k₁cosx+k₂sinx
又y″+y＝(3)/(2)sinx的特解为：y1＝−(3)/(4)xcosx
y″+y＝−(1)/(2)xcosx的特解为：y2＝−(1)/(8)x2(cosx+sinx)
∴微分方程y″+y=f（x）的通解为：
y=k₁cosx+k₂sinx−(3)/(4)xcosx−(1)/(8)x2(cosx+sinx)
将y（0）=0，y′（0）=1，代入解得
k₁=0，k2＝(7)/(4)
∴微分方程y″+y=f（x）的满足y（0）=0，y′（0）=1，特解为
y＝(7)/(4)sinx