微分方程通解问题（1）y''+y=x+e^x,（2）求特解：yy''+2[(y')^2-y'],y|(x=0)=1,y'|(x=0)=2,正确就采纳.

Question

微分方程通解问题（1）y''+y=x+e^x,（2）求特解：yy''+2[(y')^2-y'],y|(x=0)=1,y'|(x=0)=2,正确就采纳.

Answer 1

1
y''+y=x+e^x
y"+y=0
特征方程 r^2+1=0
r=±i
y=C1 cosx+C2 sinx
设y=mx+ne^x
y'=m+ne^x
y''=ne^x
mx+2ne^x=x+e^x
m=1,n=1/2
特解 y=x+(1/2)e^x
y''+y=x+e^x通解y=x+(1/2)e^x
2
yy''=2[y'^2-y']
y'=p, y''=(dp/dy)*(dy/dx)=pdp/dy
ypdp/dy=2p^2-2p
pdp/[(2p)(p-1)]=dy/y
ln|p-1|=2ln|y|+lnC
y|x=0 =1 y'|x=0 =2
C=1
p-1=y^2
p=1+y^2
dy/dx=1+y^2
dy/(1+y^2)=dx
arctany=x+C1
x=0,y=1,C1=π/4
特解 arctany=x+π/4