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方程x∫x0f(x-t)dt=13x3+∫x0f(t)dt满足f(0)=0的特解为.
题目详情
方程x
f(x-t)dt=
x3+
f(t)dt满足f(0)=0的特解为______.
∫ | x 0 |
1 |
3 |
∫ | x 0 |
▼优质解答
答案和解析
令x-t=u,原方程变为
x
f(u)du−
uf(u)du=
x3+
f(t)dt
方程两边对x求导得
f(u)du=x2+f(x)
再两边对x求导得
f(x)=2x+f'(x),即
−y=−2x
这是一阶非齐次线性微分方程,其中P(x)=-1,Q(x)=-2x
∴y=e∫dx[∫(−2x)e−∫dxdx+C]=2(x+1)+Cex
由y(0)=0得C=-2,
故y=f(x)=2(x+1)-2ex
x
∫ | x 0 |
∫ | x 0 |
1 |
3 |
∫ | x 0 |
方程两边对x求导得
∫ | x 0 |
再两边对x求导得
f(x)=2x+f'(x),即
dy |
dx |
这是一阶非齐次线性微分方程,其中P(x)=-1,Q(x)=-2x
∴y=e∫dx[∫(−2x)e−∫dxdx+C]=2(x+1)+Cex
由y(0)=0得C=-2,
故y=f(x)=2(x+1)-2ex
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