微分方程y″+y=x2+1+sinx的特解形式可设为（）A．y*=ax2+bx+c+x（Asinx+Bcosx）B．y*=x（ax2+bx+c+Asinx+Bcosx）C．y*=ax2+bx+c+AsinxD．y*=ax2+bx+c+Acosx

Question

微分方程y″+y=x²+1+sinx的特解形式可设为（　　）

A．y^*=ax²+bx+c+x（Asinx+Bcosx）
B．y^*=x（ax²+bx+c+Asinx+Bcosx）
C．y^*=ax²+bx+c+Asinx
D．y^*=ax²+bx+c+Acosx

Answer 1

对应齐次方程 y″+y=0 的特征方程为 λ²+1=0，
特征根为 λ=±i．
由线性微分方程解的性质可得，
如果y₁ 是微分方程 y″+y=x²+1 的解，
且y₂ 是微分方程 y″+y=sinx 的解，
则 y₁+y₂ 是原微分方程的解．
对于微分方程 y″+y=x²+1=e⁰（x²+1）而言，因为 0不是特征根，
从而其特解形式可设为

y

* 1

=ax²+bx+C．
对于微分方程 y″+y=sinx 而言，因为 i 为单重特征根，
从而其特解形式可设为

y

* 2

=x（Asinx+Bcosx）．
从而，可设原微分方程的特解形式可设为
y^*=

y

* 1

+

y

* 2

=ax²+bx+C+x（Asinx+Bcosx）．
故选：A．