解x^2y''-xy'-3y=9lnx微分方程用欧拉方程方法解,但是最后特解求不出来

Question

解x^2 y''-xy'-3y=9lnx微分方程 用欧拉方程方法解,但是最后特解求不出来

Answer 1

令x=e^t,t=lnx
得y''-2y'=9t+3
求得特征值0和2
所以齐次方程通解为y=c1+c2e^（2t）
因为0为特征值,所以设特解y*=t(at+b)
y*'=2at+b
y*''=2a
代入得
2a-2b-4at=9t+3
所以2a-2b=3
-4a=9
a=-9/4,b=-15/4
所以y=-（9/4)t^2-(15/4)t
代回原变量
y=c1+c2x^2-（9/4)（lnx）^2-(15/4)lnx