求微分方程y″（x+y′2）=y′满足初始条件y（1）=y′（1）=1的特解．

Question

求微分方程y″（x+y′²）=y′满足初始条件y（1）=y′（1）=1的特解．

Answer 1

设y′=p，则原方程变为：
p′（x+p²）=p，
即：
(dp)/(dx)(x+p2)＝p，
化作：(x+p2)/(p)＝(dx)/(dp)，
即：(dx)/(dp)＝(x)/(p)+p
令(x)/(p)＝u，则x＝up，
有：(dx)/(dp)＝u+p(du)/(dp)
所以：u+p(du)/(dp)＝u+p，
得：(du)/(dp)＝1，
所以：u=p+c，c为任意常数，
则：(x)/(p)＝p+c，
又因为y′（1）=1，
即：x=1时，p=1，
所以：c=0，
从而：x=p²
则：p＝√(x)，
y′＝√(x)
求得：y＝(2)/(3)x(3)/(2)+C，C为任意常数，
因为：y（1）=1，
所以，C=(1)/(3)，
于是，y＝(2)/(3)x(3)/(2)+(1)/(3)．