求解下列符合初始条件的微分方程的特解2yy''-(y')²=y²y|x=0=1,y'|x=0=2.初始条件就当x=0时y=1,当x=0时y'=2

Question

求解下列符合初始条件的微分方程的特解
2yy''-(y')²=y² y|x=0=1,y'|x=0=2.初始条件就当x=0时y=1,当x=0时y'=2

Answer 1

我答过的题!
(y'/y)'=(y''y-y'^2)/y^2
(y''y-y'^2)=y^2(y'/y)'
y''y=y'^2+y^2(y'/y)'

所以：设y'/y=t
y''y=y'^2+y^2t'.1
1式代入原方程：2(y'^2+y^2t')-(y')^2=y^2
同除以y^2
2(y'/y)^2+2t'-(y'/y)^2=1
2t'+t^2=1
2t'=1-t^2
2dt/(1-t^2)＝dx
(1/(1+t)+1/(1-t))dt=dx
两边积分：
ln[(1+t)/(1-t)]=x+c
(1+t)/(1-t)=Ce^x
t=(c1e^x-1)/(c1e^x+1)
y'/y=(c1e^x-1)/(c1e^x+1)
这时：代入x=0,y=1,y'=2
2/1=(c1-1)/(c1+1)
c1=-3
dy/y=(ce^x-1)/(ce^x+1)dx
两边积分：
ln(y)=f (c1e^x-1)/(c1e^x+1)dx
右边设c1e^x=t c1e^xdx=dt tdx=dt dx=(1/t)dt
f (c1e^x-1)/(c1e^x+1)dx
=f(t-1)/[t(t+1)]dt
= f(2/(t+1)-1/t)dt
= ln[(t+1)^2/t]+c
ln(y)=ln[(c1e^x+1)^2/(c1e^x)]+c
c2y=(c1e^x+1)^2/(c1e^x)=(c1^2e^(2x)+2c1e^x+1)/(c1e^x)=c1e^x+2+1/(c1e^x)
x=0, y=1
c2=c1+2+1/c1=-3+2+1/(-3)=-1-1/3=-4/3.1
将 c1,c2代入
-4/3y=-3e^x-1/(3e^x)+2
自已再算一下