如图，在△ABC中，三条角平分线交于点O，过点O作BO的垂线，交AB，BC于M，N两点，求证：△AMO∽△AOC∽△ONC．

Question

如图，在△ABC中，三条角平分线交于点O，过点O作BO的垂线，交AB，BC于M，N两点，求证：△AMO∽△AOC∽△ONC．

Answer 1

证明，如图，∵BO是∠ABC的平分线，BO⊥MN，
∴BM=BN，
∴∠BNM=∠BMN，
∴∠BMN=90°-(1)/(2)∠ABC，
∴2∠BMN=180°-∠ABC=∠BAC+∠BCA=2∠BAO+2∠ACO，
∴∠BMN=∠BAO+∠ACO
又∵∠BMN=∠MAO+∠MOA，
∴∠ACO=∠MOA，
又∵∠MAO=∠OAC，
∴△AMO∽△AOC．
同理可证△CNO∽△COA．
∴△AMO∽△AOC∽△ONC．