已知函数f（x）=lnx-bx（b为实数）（1）若b=-1，求函数f（x）的极值；（2）若函数M（x）满足M（x）≥N（x）恒成立，则称M（x）是N（x）的一个“上界函数”．①如果函数f（x）为g（x）=-lnx的

Question

已知函数f（x）=ln x-(b)/(x)（b为实数）
（1）若b=-1，求函数f（x）的极值；
（2）若函数M（x）满足M（x）≥N（x）恒成立，则称M（x）是N（x）的一个“上界函数”．
①如果函数f（x）为g（x）=-lnx的一个“上界函数”，求b的取值范围；
②若b=0，函数F（x）的图象与函数f（x）的图象关于直线y=x对称，求证：当x∈（-2，+∞）时，函数F（x）是函数y=f((x)/(2)+1)+(x)/(2)+1的一个“上界函数”．

Answer 1

（1）由于b=-1，则函数f（x）=ln x+(1)/(x)，得到f′(x)＝(1)/(x)−(1)/(x2)＝(x−1)/(x2)
令f′（x）=0，则x=1，
由于当0＜x＜1时，f′（x）＜0；当x＞1时，f′（x）＞0．
故函数f（x）在x=1处取得极小值，且极小值为1；
（2）①由“上界函数”定义知，函数f（x）为g（x）=-lnx的一个“上界函数”⇔f（x）≥g（x）在其定义域上恒成立，
即ln x-(b)/(x)≥-lnx，亦即2ln x-(b)/(x)≥0在（0，+∞）上恒成立，
令H（x）=2ln x-(b)/(x)，则H′(x)＝(2)/(x)+(b)/(x2)＝(2x+b)/(x2)，
当b≥0时，H′（x）＞0，则H（x）=2ln x-(b)/(x)在（0，+∞）上递增，显然不满足（2ln x-(b)/(x)）_极小值≥0；
当b＜0时，令H′（x）＞0，得到x＞−(b)/(2)
则H（x）=2ln x-(b)/(x)在（0，-(b)/(2)）上递减，在（-(b)/(2)，+∞）上递增，
故（2ln x-(b)/(x)）_极小值=2ln（−(b)/(2)）-(b)/(−(b)/(2))=2ln（−(b)/(2)）+2≥0，解得b≤−(2)/(e)，
故若函数f（x）为g（x）=-lnx的一个“上界函数”，b的取值范围为b≤−(2)/(e)；
②证明：由于b=0，则f（x）=ln x，又由函数F（x）的图象与函数f（x）的图象关于直线y=x对称，则函数F（x）=e^x，
当x∈（-2，+∞）时，令G（x）=F（x）−[f((x)/(2)+1)+(x)/(2)+1]＝ex−ln((x)/(2)+1)−(x)/(2)−1，则G′(x)＝ex−(1)/(x+2)−(1)/(2)
若令G′（x）=0，解得x=0，故G（x）在（-2，0）上单调递减，（0，+∞）上单调递增，
则[G(x)]最小值＝G(0)＝e0−ln1−1＝0
故当x∈（-2，+∞）时，G（x）≥0恒成立，
即当x∈（-2，+∞）时，函数F（x）是函数y=f((x)/(2)+1)+(x)/(2)+1的一个“上界函数”．