设函数f（x）在数集X上有定义，试证：函数f（x）在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界．

Question

设函数f（x）在数集X上有定义，试证：函数f（x）在X上有界的充分必要条件是它在 X上既有上界又有下界．

Answer 1

证明：（充分性）
∵f（x）在X上有界，
∴|f（x）|≤M（M属于正实数集），
∴-M≤f（x）≤M，
∴f（x）既有上界M，又有下界-M．
（必要性）
∵f（x）在X上既有上界又有下界，
∴Min≤f（x）≤Max（Min，Max属于实数集），
∴|f（x）|≤max（|Min|，|Max|），
∴f（x）在X上有界．
综上所述，函数f（x）在X上有界的充分必要条件是它在 X上既有上界又有下界．