设f（x）定义于[a，b]上且有第一类间断点，证明f（x）在[a，b]上有界．

Question

设f（x）定义于[a，b]上且有第一类间断点，证明f（x）在[a，b]上有界．

Answer 1

证明：只需要考虑只有一个第一类间断点x₀的情形（有多个间断点情形雷系），
取邻域U（x₀，δ）（若端点处间断则只考虑左右邻域），
考虑间断点在区间[a，b]内，则区间被分成了三段[a，x₀-δ]，[x₀-δ，x₀+δ]，[x0+δ，b]，
函数f（x）在第一个区间和第三个区间连续，
所以在这两个区间上有界，
又因为间断点x₀的左右极限分别存在，不妨设

lim

x→x0-

f(x)=A，

lim

x→x0+

f(x)=B
则对∀ɛ>0，∃δ₁>0，∀x：x∈（x₀-δ₁，x₀），有A-ɛ<f（x）<A+ɛ，即f（x）在U（x₀，δ₁）的左侧邻域有界
同理，f（x）在U（x₀，δ₁）的右侧邻域有界
∴f（x）在[x₀-δ，x₀+δ]有界
∴f（x）在[a，x₀-δ]，[x₀-δ，x₀+δ]，[x0+δ，b]有界
即f（x）在[a，b]上有界．