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设Ω是由曲面z=2-x2-y2及z=x2+y2所围成的有界闭区域，求Ω的体积．
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设Ω是由曲面z=2-x2-y2及z=x2+y2所围成的有界闭区域，求Ω的体积．
▼优质解答
答案和解析
由于曲面z=2-x2-y2及z=x2+y2所的交线是x2+y2=1，因此
Ω在xOy面上的投影区域为D：x2+y2≤1
∴Ω的体积为
V＝
dv＝
dθ
ρdρ
dz
=
dθ
(2−2ρ2)ρdρ
=2π[ρ2−
]
=π．
Ω在xOy面上的投影区域为D：x2+y2≤1
∴Ω的体积为
V＝
| ∭ |
| Ω |
| ∫ | 2π 0 |
| ∫ | 1 0 |
| ∫ | 2−ρ2 ρ2 |
=
| ∫ | 2π 0 |
| ∫ | 1 0 |
=2π[ρ2−
| ρ4 |
| 2 |
1 0 |
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