设f（x）为区间[a，b]上的连续函数，且x1，x2，…，xn∈（a，b）．证明：存在ξ∈（a，b），使得f（ξ）=1n2nk=1(2k-1)f(xk)．

Question

设f（x）为区间[a，b]上的连续函数，且x₁，x₂，…，x_n∈（a，b）．证明：存在ξ∈（a，b），使得f（ξ）=(1)/(n2)

n

k=1

(2k-1)f(xk)．

Answer 1

证明：因为f（x）为区间[a，b]上的连续函数，
所以存在实数m与M，使得∀x∈[a，b]，m≤f（x）≤M．
又因为

n

k=1

(2k-1)=n2，所以，
(1)/(n2)

n

k=1

(2k-1)f(xk)≥(m)/(n2)

n

k=1

(2k-1)=(m)/(n2)•n2=m，
(1)/(n2)

n

k=1

(2k-1)f(xk)≤(M)/(n2)

n

k=1

(2k-1)=(M)/(n2)•M2=M，
即：m≤(1)/(n2)

n

k=1

(2k-1)f(xk)≤M．
因此，利用有界闭区间上连续函数的介值定理可得，
存在ξ∈（a，b），使得f（ξ）=(1)/(n2)

n

k=1

(2k-1)f(xk)．