已知函数f（x）=lnx+ax2-1，g（x）=ex-e．（1）讨论f（x）的单调区间；（2）若a=1，且对于任意的x∈（1，+∞），mg（x）>f（x）恒成立，求实数m的取值范围．

Question

已知函数f（x）=lnx+ax²-1，g（x）=e^x-e．
（1）讨论f（x）的单调区间；
（2）若a=1，且对于任意的x∈（1，+∞），mg（x）>f（x）恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）易知f（x）的定义域为（0，+∞），
f'（x）=(1)/(x)+2ax=(1+2ax2)/(x)
a≥0时，f'（x）>0恒成立，故f（x）的单调增区间为（0，+∞），无单调减区间；
a<0时，由f'（x）>0，得0<x<(1)/(√(-2a))；由f'（x）<0，得x>(1)/(√(-2a))，
故f（x）的单调增区间为（0，(1)/(√(-2a))），单调减区间为（(1)/(√(-2a))，+∞）；
（2）a=1时，f（x）=lnx+x²-1
记h（x）=mg（x）-f（x）=m（e^x-e）-（lnx+x²-1），x∈（1，+∞），则h（1）=0，
∵对于任意的x∈（1，+∞），mg（x）>f（x）恒成立，
∴对于任意的x∈（1，+∞），h（x）>0恒成立，
h'（x）=me^x-（(1)/(x)+2x），则h'（1）=me-3
若h'（1）<0，即m<(3)/(e)，则存在x₀∈（1，+∞），使得x∈（1，x₀）时，h'（x）<0，即h（x）在（1，x₀）上单调递减，
此时h（x）<h（1）=0，不符合条件；
若h'（1）≥0，即m≥(3)/(e)，则h'（x）≥(3)/(e)•ex-(1)/(x)-2x，
令φ（x）=(3)/(e)•ex-(1)/(x)-2x（x>1），
∵φ'（x）=(3)/(e)•ex+(1)/(x2)-2>(3)/(e)•ex-2>0，
∴φ（x）在（1，+∞）上单调递增，
∴φ（x）>φ（1）=0，即h'（x）≥φ（x）>0，
∴h（x）在（1，+∞）上单调递增，
∴h（x）>h（1）=0，即对于任意的x∈（1，+∞），h（x）>0恒成立，
综上可得，m≥(3)/(e)．