已知f（x）=ax2（a∈R），g（x）=2lnx．（1）讨论函数F（x）=f（x）-g（x）的单调性；（2）若方程f（x）=g（x）在区间[2，e]上有两个不等解，求a的取值范围．

Question

已知f（x）=ax²（a∈R），g（x）=2lnx．
（1）讨论函数F（x）=f（x）-g（x）的单调性；
（2）若方程f（x）=g（x）在区间[√(2)，e]上有两个不等解，求a的取值范围．

Answer 1

（1）F（x）=ax²-2lnx  （x＞0）所以 F′（x）=(2(ax2−1))/(x) （x＞0）
所以当a＞0时，函数在（0，(1)/(√(a))）上是减函数，在 （(1)/(√(a))，+∞）上是增函数，
a≤0时，函数在（0，+∞）上是减函数．
（2）方程f（x）=g（x）在区间[√(2)，e]上有两个不等解，
等价于 a=(2lnx)/(x2)在[√(2)，e]上有两个不等解
令h（x）=(2lnx)/(x2)
则 h′（x）=(2x(1−2lnx))/(x4)  
故函数h（x）在（√(2)，√(e)）上是增函数，在 （

作业帮用户 2017-11-13

问题解析

（1）先确定函数的定义域然后求导数F′（x），在函数的定义域内解不等式F′（x）＞0和F′（x）＜0，求出单调区间．
（2）方程f（x）=g（x）在区间[

√(2)，e]上有两个不等解等价于 a=(2lnx)/(x2)在[√(2)，e]上有两个不等解，令h（x）=(2lnx)/(x2)，利用导数研究其单调性，从而得出它的最小值，即可得到a的取值范围．

名师点评

本题考点：

利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系．

考点点评：

本小题主要考查函数的导数，单调性，函数的零点与方程根的关系等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力．

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