求二重积分∫∫|x^2+y^2-1|dQ,其中D={(X,y)|0

Question

求二重积分∫∫|x^2+y^2-1|dQ,其中D={(X,y)|0

Answer 1

用圆x^2+y^2=1分割D,一部分是D1：x^2+y^2≤1,x≥0,y≥0,另外一部分记为D2.
原式＝∫∫(D1) (1-x^2-y^2)dQ＋∫∫(D2) (x^2+y^2-1)dQ
＝2∫∫(D1) (1-x^2-y^2)dQ＋∫∫(D) (x^2+y^2-1)dQ
＝2∫(0到π/2)dθ∫(0到1) (1-ρ^2)ρdρ - 1/3
＝2×π/2×1/4 - 1/3
＝π/4 - 1/3