设f（x）在x=0的某邻域内连续，且limx→0f(x)1-cosx=2，则f（x）在x=0（）A.不可导B.可导且f′（0）≠0C.取极大值D.取极小值

Question

设f（x）在x=0的某邻域内连续，且

lim

x→0

(f(x))/(1-cosx)=2，则f（x）在x=0（　　）

A. 不可导

B. 可导且f′（0）≠0

C. 取极大值

D. 取极小值

Answer 1

①选项A和B．因为f（0）=0，且

lim

x→0

(f(x))/(1-cosx)=2，
所以

lim

x→0

(f(x)-f(0))/(x-0)=

lim

x→0

(f(x))/(x)
=

lim

x→0

(f(x))/(1-cosx)•

lim

x→0

(1-cosx)/(x)
=2

lim

x→0

(1-cosx)/(x)
=2

lim

x→0

(sinx)/(1)
=0，
从而f′（0）=

lim

x→0

(f(x)-f(0))/(x-0)=0
故A和B错误；
②选项C和D．由

lim

x→0

(f(x))/(1-cosx)=2，根据极限的定义，对ɛ=(1)/(2)>0，存在δ>0，使得|x|<δ时，有
|(f(x))/(1-cosx)-2|<(1)/(2)
即(3)/(2)<(f(x))/(1-cosx)<(5)/(2)
从而
f(0)=0<(3)/(2)(1-cosx)<f(x)
故f（x）在 0 处取得极小值
故C错误，D正确．
故选：D