国庆高等数学函数,极限概念疑问8,请仔细读我的疑问,不要一两句的应付回答,8、关于无穷大的定义：设函数f(x)在x0的某一去心邻域内有定义（或|x|大于某一正数时有定义）,如果对于任意给定

Question

国庆高等数学函数,极限概念疑问8,请仔细读我的疑问,不要一两句的应付回答,
8、关于无穷大的定义：设函数f(x)在x0的某一去心邻域内有定义（或|x|大于某一正数时有定义）,如果对于任意给定的正数M（不论它多么大）,总存在正数ε（或正数X）,只要x适合不等式0M,则称函数f(x)为当x→x0（或x→∞）时的无穷大.这个X跟开始说的某一正数是不是同一个数?为什么?在书上关于此定义有些说明：为便于叙述函数这一性态,什么叫性态?不懂,再一个,书上说,我们也说函数的极限是无穷大.函数的极限是一个数吧,在定义的函数的极限时,我们常用到常数A,它既然是一个数,是无穷大吗?那它后面又说明无穷大不是数.
怎么回事?再一个,在定义最后一句,“则称函数f(x)为当x→x0（或x→∞）时的无穷大.”,那意思是说函数f(x)无穷大哟,意思是说无穷大是个函数哟,一个函数是无穷大吗?一个变量是无穷大呀?怎么能说f(x)是无穷大呢?不理解.

Answer 1

首先明确一下,无穷大不是一个数,你以后学到瑕积分就会知道,负无穷大不是正无穷大的相反数.无穷大是一个过程量,不能单一的说一个数是无穷大（就像游戏王那里面的攻击力无穷大是错误的说法）,必须给出过程（比如y=1/x x->0+）,在某一过程中是无穷大.在这里无穷大你可以理解为任意的大,它可以大于你说的任意数.
还有一个你说的极限的问题,比如y=x,x趋于无穷大的时候y也趋于无穷大,这是函数没有极限,也不收敛.
函数的性态我查了一下即函数的单调性、极值、最值、凹凸性等.
对于这个X跟开始说的某一正数是不是同一个数?这里的X通常与M有关,你在证明极限的时候应该学过吧,比如y=x,M取5的时候X也可以取5,也可以取大于5的数,这就叫与M有关,所以说X和M一般不是一个数.这个极限的意思就是你上面说的,无论M多么大,我总能找到一个X,对于x>X以后的所有的x,其对应的函数值f(x)都大于M,我就可以说当x趋于无穷大的时候,f(x)也趋于无穷大.