设f（x，y）=|x-y|φ（x，y），其中φ（x，y）在点（0，0）的某邻域内连续，证明：φ（0，0）=0是函数f（x，y）在点（0，0）处可微的充分必要条件，并求出函数f（x，y）在点（0，0）处的全微

Question

设f（x，y）=|x-y|φ（x，y），其中φ（x，y）在点（0，0）的某邻域内连续，
证明：φ（0，0）=0是函数f（x，y）在点（0，0）处可微的充分必要条件，并求出函数f（x，y）在点（0，0）处的全微分．

Answer 1

证明：由于f_x（0，0）=

lim

x→0

(f(x，0)-f(0，0))/(x)=

lim

x→0

=(|x|φ(x，0))/(x)=

lim

x→0

φ（x，0）•

lim

x→0

(|x|)/(x)，
而φ（x，y）在点（0，0）的某邻域内连续，因此

lim

x→0

φ(x，0)=φ(0，0)
从而当且仅当φ（0，0）=0时极限才存在且为0．同理f_y（0，0）=0，也是当且仅当φ（0，0）=0时极限才存在．
又(f(x，y)-f(0，0)-xfx(0，0)-yfy(0，0))/(√(x2+y2))=(|x-y|φ(x，y))/(√(x2+y2))
注意到|x-y|≤|x|+|y|≤2√(x2+y2)，
因此

lim

(x，y)→(0，0)

(f(x，y)-f(0，0)-[fx(0，0)x+fy(0，0)y])/(√(x2+y2))=

lim

(x，y)→(0，0)

(|x-y|φ(x，y))/(√(x2+y2))存在，当且仅当φ（0，0）=0时有极限0，
于是f（x，y）在原点可微，且微分为df（0，0）=0
综上，φ（0，0）=0是函数f（x，y）在点（0，0）处可微的充分必要条件．