为何不能把对直角坐标系内点和曲线的认识套用到极坐标系内，用极坐标与直角坐标来表示点和曲线时，二者究竟有哪些明显的区别呢？

Question

为何不能把对直角坐标系内点和曲线的认识套用到极坐标系内，用极坐标与直角坐标来表示点和曲线时，二者究竟有哪些明显的区别呢？

Answer 1

探究:（1）在平面直角坐标系内，点与有序实数对，即坐标(x y)是一一对应的，可是在极坐标系内，虽然一个有序实数对(ρ θ)只能与一个点P对应，但一个点P却可以与无数多个有序实数对(ρ θ)对应.例如(ρ 2nπ+θ)与(-ρ (2n+1)π+θ)（n为整数）表示的是同一个点，所以点与有序实数对极坐标(ρ θ)不是一一对应的.

（2）在直角坐标系内，一条曲线如果有方程，那么曲线和它的方程是一一对应的（解集完全相同且互相可以推导的等价方程，只看作一个方程）.可是在极坐标系内，虽然是一个方程只能与一条曲线对应，但一条曲线却可以与多个方程对应.例如方程ρ ₁ =1 ρ ₂ =1 ρ ₃ =1等表示的是同一个圆，所以曲线和它的方程不是一一对应的.

（3）在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程，可是在极坐标系内，曲线上一点的所有坐标不一定都适合方程.例如给定曲线ρ=θ，设点P的极坐标为( )，那么点P适合方程ρ=θ，从而是曲线上的一个点，但点P的另一个极坐标( )就不适合方程ρ=θ了.所以在极坐标系内，确定某一个点P是否在某一曲线C上，当且仅当点P的极坐标中是否有一对坐标ρ=θ适合曲线C的方程.