阅读下列一段文字，然后回答下列问题．已知在平面内两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），其两点间的距离P1P2＝(x1−x2)2+(y1−y2)2，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标

Question

阅读下列一段文字，然后回答下列问题．
已知在平面内两点P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂），其两点间的距离P1P2＝√((x1−x2)2+(y1−y2))2，
同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x₂-x₁|或|y₂-y₁|．
（1）已知A（2，4）、B（-3，-8），试求A、B两点间的距离；
（2）已知A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为4，点B的纵坐标为-1，试求A、B两点间的距离；
（3）已知一个三角形各顶点坐标为D（1，6）、E（-2，2）、F（4，2），你能判定此三角形的形状吗？说明理由；
（4）平面直角坐标中，在x轴上找一点P，使PD+PF的长度最短，求出点P的坐标以及PD+PF的最短长度．

Answer 1

（1）∵A（2，4）、B（-3，-8），
∴AB=√((−3−2)2+(−8−4)2)=13；

（2）∵A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为4，点B的纵坐标为-1，
∴AB=|4-（-1）|=5；

（3）△DEF为等腰三角形，理由为：
∵D（1，6）、E（-2，2）、F（4，2），
∴DE=√((−2−1)2+(2−6)2)=5，DF=√((4−1)2+(2−6)2)=5，EF=√((−2−4)2+(2−2)2)=6，即DE=DF，
则△DEF为等腰三角形；

（4）做出F关于x轴的对称点F′，连接DF′，与x轴交于点P，此时DP+PF最短，
设直线DF′解析式为y=kx+b，
将D（1，6），F′（4，-2）代入得：

k+b＝6

4k+b＝−2

，
解得：

k＝−(8)/(3)

b＝(26)/(3)

，
∴直线DF′解析式为y=-(8)/(3)x+(26)/(3)，
令y=0，得：x=(13)/(4)，即P（(13)/(4)，0），
∵PF=PF′，
∴PD+PF=DP+PF′=DF′=√((1−4)2+(6+2)2)=√(73)，
则PD+PF的长度最短时点P的坐标为（(13)/(4)，0），此时PD+PF的最短长度为√(73)．