已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且△ABC的外接圆半径为R，AB•AC＝9．sinB=cosAsinC．（1）求△ABC的三边的长；（2）设P是△ABC（含边界）内的一点，P到三边AC、BC、AB的距离分别

Question

已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且△ABC的外接圆半径为R，

AB

•

AC

＝9．sinB=cosAsinC．
（1）求△ABC的三边的长；
（2）设P是△ABC（含边界）内的一点，P到三边AC、BC、AB的距离分别是x、y、z．
①写出x、y、z．所满足的等量关系；
②利用线性规划相关知识求出x+y+z的取值范围．

Answer 1

（1）设△ABC中角ABC所对边分别为a、b、c
由sinB=cosAsinC，得sin（A+C）=cosAsinC
∴sinAcosC=0，可得C＝(π)/(2)，
又∵

AB

•

AC

＝9，得bccosA=9
∴结合ccosA=b，有b²=9，可得b=3．
∵S△ABC＝(1)/(2)a•b＝6，
∴a=4，
结合c²=a²+b²，得c=5，
即△ABC的三边长a=4，b=3，c=5；
（2）①S_△PAC+S_△PBC+S_△PAB=S_△ABC，可得
(1)/(2)•3x+(1)/(2)•4y+(1)/(2)•5z＝6，
故3x+4y+5z=12．
②x+y+z=x+y+(1)/(5)(12−3x−4y)＝(12)/(5)+(1)/(5)(2x+y)
令t=2x+y，依题意有

x≥0

y≥0

3x+4y≤12

画出可行域如图
可知当x=0，y=0时t_min=0
当x=4，y=0时，t_max=8，即0≤t≤8
故x+y+z=(12)/(5)+(1)/(5)t的取值范围为[(12)/(5)，4]．