如图（a）所示，ABCD为一足够长的光滑绝缘斜面，EFGH范围内存在方向垂直斜面向上的匀强磁场，磁场边界EF、HG与斜面底边AB平行．一长方形金属框abcd放在斜面上，ab边平行于磁场边界．现使

Question

如图（a）所示，ABCD为一足够长的光滑绝缘斜面，EFGH范围内存在方向垂直斜面向上的匀强磁场，磁场边界EF、HG与斜面底边AB平行．一长方形金属框abcd放在斜面上，ab边平行于磁场边界．现使金属框从斜面上某处由静止释放，金属框从开始运动到cd边离开磁场的过程中，其运动的v-t图象如图（b）所示．已知金属框的质量为0.02kg，电阻为0.48Ω，磁感应强度大小为2T，取g=10m/s²，线框在0.1s～0.2s内的位移为0.07m，求：

（1）斜面的倾角θ；
（2）金属框ab边的长度，；
（3）金属框穿过磁场的过程中产生的焦耳热Q？

Answer 1

线框在进入磁场前只受重力、支持力的作用，线框做匀加速运动；线框进入磁场过程中，受重力、支持力、安培力作用，由图（b）可知，线框做加速度减小的加速运动；完全进入后，安培力为零，线框只受重力、支持力的作用，至离开磁场时，安培力不为零，线框受重力、支持力、安培力作用，做匀速直线运动．
（1）由v-t图象可知，在0～0.1s内金属框的加速度a=(0.5-0)/(0.1-0)m/s2=5m/s2；
在0～0.1s内金属框沿光滑斜面下滑，由牛顿第二定律得：mgsinθ=ma；
所以，sinθ=(a)/(g)=(5)/(10)=(1)/(2)；所以，θ=30°；
（2）由v-t图象可知，金属框以v=1.2m/s匀速穿出磁场；那么由受力平衡可得：mgsinθ=F安=BIL=(B2L2v)/(R)；
所以，L=√((mgRsinθ)/(B2v))=√((0.02×10×0.48×(1)/(2))/(22×1.2))m=0.1m；
（3）线框在0.1s～0.2s内的位移为0.07m，由题意可知，金属框边长bc为l=0.07m；
对金属框进入匀强磁场的过程应用动能定理，则可得：克服安培力所做的功W1=mglsinθ-((1)/(2)mv22-(1)/(2)mv12)=0.02×10×0.07×(1)/(2)-(1)/(2)×0.02(0．82-0．52)J=3.1×10^-3J；
金属框离开匀强磁场时做匀速直线运动，对金属框离开匀强磁场的过程应用动能定理，则可得：克服安培力所做的功
W2=mglsinθ=7×10-3J；
再有，克服安培力所做的功等于闭合电路产生的热量；所以金属框穿过磁场的过程中产生的焦耳热Q=W1+W1=10.1×10-3J=1.01×10-2J．
答：（1）斜面的倾角θ为30°；
（2）金属框ab边的长度0.1m；
（3）金属框穿过磁场的过程中产生的焦耳热为1.01×10^-2J．