对坐标曲线积分1.∫(x^2-y^2)dx+(x^2+y^2)dy其中L为以(0,0),（1,1）,（0,1）为顶点的三角形区域的边界（逆时针方向）2.∫（sinx^2+y)dx其中L为由y^2=x,x=1所围区域的边界（逆时针方向）

Question

对坐标曲线积分
1.∫(x^2-y^2)dx+(x^2+y^2)dy其中L为以(0,0),（1,1）,（0,1）为顶点的三角形区域的边界（逆时针方向）
2.∫（sinx^2+y)dx其中L为由y^2=x,x=1所围区域的边界（逆时针方向）

Answer 1

(1) 将此三角形区域分为三条线段 L1,L2,L3
其中L1：y=x,0≤x≤1,L2：y=1,1≥x≥0,L3：x=0,1≥y≥0
按逆时针方向,相应积分为在三条线段上积分之和=∫L1 +∫L2 +∫L3
在L1上,y=x,所以∫L1=∫[0,1]2x²dx=2/3
在L2上,∫L2=∫[1,0](x²-1)dx=2/3
在L3上,∫L3=∫[1,0]y²dy=-1/3
所以原积分=2/3+2/3-1/3=1
(2) 同样把积分分成三部分可得
.∫（sinx^2+y)dx=∫[1,0](sin²x+√x)dx+∫[0,1](sin²x-√x)dx
=2∫[1,0]√xdx=-4/3