已知平面区域D={（x，y）|0≤x≤π，0≤y≤π}，L为D的正向边界．试证：（1）∮Lxesinydy−ye−sinxdx=∮Lxe−sinydy−yesinxdx；（2）∮Lxesinydy−ye−sinxdx≥2π2．

Question

已知平面区域D={（x，y）|0≤x≤π，0≤y≤π}，L为D的正向边界．试证：
（1）∮Lxesinydy−ye−sinxdx=∮Lxe−sinydy−yesinxdx；
（2）∮Lxesinydy−ye−sinxdx≥2π2．

Answer 1

证明：（1）由于平面区域D={（x，y）|0≤x≤π，0≤y≤π}，L为D的正向边界，因此左边=∫π0πesinydy−∫0ππe−sinxdx=π∫π0(esinx+e−sinx)dx，右边=∫π0πe−sinydy−∫0ππesinxdx=π∫π0(esinx+e−sinx)...