（2014•漳州三模）如图，在一二象限内-R≤x≤R范围内有竖直向下的运强电场E，电场的上边界方程为y=12Rx2．在三四象限内存在垂直于纸面向里、边界方程为x2+y2=R2的匀强磁场．现在第二象限

Question

（2014•漳州三模）如图，在一二象限内-R≤x≤R范围内有竖直向下的运强电场E，电场的上边界方程为y=(1)/(2R)x²．在三四象限内存在垂直于纸面向里、边界方程为x²+y²=R²的匀强磁场．现在第二象限中电场的上边界有许多质量为m，电量为q的正离子，在y=(1)/(2)R处有一荧光屏，当正离子达到荧光屏时会发光，不计重力和离子间相互作用力．
（1）求在x（-R≤x≤R）处释放的离子进入磁场时速度．
（2）若仅让横坐标x=-(R)/(3)的离子释放，它最后能经过点（R，0），求从释放到经过点（R，0）所需时间t．
（3）若同时将离子由静止释放，释放后一段时间发现荧光屏上只有一点持续发出荧光．求该点坐标和磁感应强度B₁．

Answer 1

（1）于x处释放离子，由动能定理得：Eq(1)/(2R)x²=(1)/(2)mv²          
得离子进入磁场时的速度为：v=√((Eq)/(mR))|x|
（2）由（1）得在x=-(R)/(3) 处释放的离子到达x轴时速度为：v=√((Eq)/(mR))•(R)/(3)=(1)/(3)√((EqR)/(m))                                   
从释放到到达x轴时间为：t₁=(v)/(a)=((1)/(3)√((EqR)/(m)))/((Eq)/(m))=(1)/(3)√((mR)/(Eq)) 
a）第一种情况：离子直接从x=-(R)/(3)经磁场达x=R 处．
在磁场中经历半圆时间为：t₂=(s)/(v)=((π)/(2)(R+(R)/(3)))/(v)=2π√((mR)/(Eq))        
总时间为：T₁=t₁+t₂=（2π+(1)/(3)）√((mR)/(Eq))                                
b）第二种情况：离子直接从x=-(R)/(3)经磁场达x=(R)/(3)处进入电场返回磁场再到x=R处
易得在磁场中时间仍然为：t₂=2π√((mR)/(Eq))                       
在电场中时间为：3t₁=√((mR)/(Eq))                                
总时间为：T₂=3t₁+t₂=（2π+1）√((mR)/(Eq))                         
（3）在磁场B中有：qvB=m(v2)/(r)                                     
所以运动半径为：r=(mv)/(qB)=(1)/(B)√((Em)/(qR))|x|
可以看出，B一定时，必有r∝|x|，当|x|→0时，r→0 （离子经磁场偏转从逼近原点出磁场）因此，所有离子都从原点（0，0）点出磁场，击中荧光屏上（0，(1)/(2)R）
则有：2r=x
因为qvB₁=m(v2)/(r)    
所以有：B₁=(mv)/(qr)=2√((Em)/(qR))              
答：（1）在x（-R≤x≤R）处释放的离子进入磁场时速度v=√((Eq)/(mR))|x|．
（2）若仅让横坐标x=-(R)/(3)的离子释放，它最后能经过点（R，0），从释放到经过点（R，0）所需时间t=（2π+(1)/(3)）√((mR)/(Eq)) 或（2π+1）√((mR)/(Eq))．
（3）若同时将离子由静止释放，释放后一段时间发现荧光屏上只有一点持续发出荧光．该点坐标为（0，(1)/(2)R）磁感应强度B₁为2√((Em)/(qR))．