如图，在△ABC中，已知CA=CB=5，BA=6，点E是线段AB上的动点（不与端点重合），点F是线段AC上的动点，连接CE、EF，若在点E、点F的运动过程中，始终保证∠CEF=∠B．（1）求证：∠AEF=∠BCE；（2

Question

如图，在△ABC中，已知CA=CB=5，BA=6，点E是线段AB上的动点（不与端点重合），点F是线段AC上的动点，连接CE、EF，若在点E、点F的运动过程中，始终保证∠CEF=∠B．

（1）求证：∠AEF=∠BCE；
（2）当以点C为圆心，以CF为半径的圆与AB相切时，求BE的长；
（3）探究：在点E、F的运动过程中，△CEF可能为等腰三角形吗？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵∠B+∠BCE=∠CEA=∠CEF+∠FEA，
∵∠CEF=∠B，
∴∠AEF=∠BCE；

（2） 如图1，设 C与BA切于点M，则CM=CF，CM⊥BA，
∵CA=CB，CM⊥BA∴BM=AM=(AB)/(2)=3，
Rt△AMC中，AC=5，AM=3，
∴CF=CM=4，
∴AF=1，
∵CA=CB∴∠B=∠C
由（1）知∠AEF=∠BCE
∴△AEF∽△BCE，
∴(EA)/(BC)=(AF)/(BE)，
设BE长为x，则EA长为6-x
∴(6-x)/(5)=(1)/(x)，
解得：x₁=1，x₂=5，
答：BE的长为1或5；
（3）可能．如图2，
①当CE=CF时，∠3=∠2=∠A，
∴EF∥AB，此时E与B重合，与条件矛盾，不成立．
②当CF=EF时，
又∵△AEF∽△BCE，
∴△AEF≌△BCE，
∴AE=BC=5，
∴BE=AB-5=1，
③当CF=EF时，∠1=∠2=∠A=∠B，
△FCE∽△CBA，
∴(EF)/(AC)=(CE)/(AB)，
∴(EF)/(CE)=(AC)/(AB)=(5)/(6)，
∵△AEF∽△BCE
∴(EA)/(BC)=(EF)/(CE)=(5)/(6)
∴EA=(5)/(6)BC=(5)/(6)×5=(25)/(6)，
∴EB=AB-(25)/(6)=(11)/(6)．
答：当BE的长为1或(11)/(6)时，△CFE为等腰三角形．