试问∫+∞0e-x2dx是否收敛，若收敛，求其值．

Question

试问

∫

+∞ 0

e-x2dx是否收敛，若收敛，求其值．

Answer 1

∫

+∞ 0

e-x2dx=

∫

1 0

e-x2dx+

∫

+∞ 1

e-x2dx=I₁+I₂．
因为e-x2在[0，1]上连续，
故I₁收敛．
当x≥1时，e-x2≤e^-x，且

∫

+∞ 1

e-xdx=-e-x

|

+∞ 1

=(1)/(e)收敛，
故利用比较判别法可得，
I₂收敛．
因此，

∫

+∞ 0

e-x2dx 收敛．
令t=x²，则x=√(t)，dx=(1)/(2√(t))dt，

∫

+∞ 0

e-x2dx=(1)/(2)

∫

+∞ 0

t-(1)/(2)e-tdt=(1)/(2)Γ((1)/(2))=(√(π))/(2)．