为什么∑（0到+∞）1/n^2是收敛的啊是N=1到正无穷，不是0

Question

为什么∑（0到+∞）1/n^2 是收敛的啊
是N=1到正无穷，不是0

Answer 1

这个是任何一本数学分析教材上都会讲到的例子：P-级数.
积分判别法.
构造函数f(x)=1/x^p,显然f在[1,+∞）上单调减少,∑f(n)=∑1/n^p,[1,+∞）上.
根据反常积分：∫1/x^pdx在[1,+∞）上的积分,当p>1时收敛,p≤1时发散.
这个反常积分：lim(a→+∞)∫1/x^pdx,[1,a]上积分,得到lim(a→+∞) [x^(1-p)]/(1-p),很显然,对于x∈[1,+∞）只有当1-p<0,p>1时才有有限的极限.
由此可知：取p=2时,这个级数也是收敛的.